不定方程的常用方法(2)

摘要：UPD on 2025.8.1：修改了一些表述 不定方程的通用方法通常有不等式，同余，因式分解，分析素因子幂次。 同余方法 同余方法中很重要的一块是二次剩余 还有很多不定方程利用模素数及素数性质分析，常用的性质是 \(a^2+ab+b^2\) 的素因子模 \(3\) 余 \(1\) ， \(a^2+

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posted @ 2024-07-18 10:55

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不定方程的常用方法(1)

摘要：以下介绍了几种有一定用处的方法，不过都是十几年前常考的东西了。 韦达跳跃法 例1 是否存在正整数 \(m\) ，使得 \(\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z+\frac 1{xyz}=\frac m{x+y+z}\) 有无穷组正整数解 代入 \((x,y,z)=(1,1,1)\)

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posted @ 2024-07-18 10:29

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佩尔方程

摘要：UPD on 2025.8.2：修正了一些错误 对 \(D\in N^*\) 且 \(D\) 不为完全平方数，方程 \(x^2-Dy^2=1\) 有无穷组解 其中设 \(x+\sqrt D y\) 最小的一组为 \((x_0,y_0)\) （该解称为基本解），则方程 \(x^2-Dy^2=1\) 的

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posted @ 2024-07-17 23:56

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勾股方程

摘要：UPD on 2025.8.2：补充说明 形式为 \(x^2+y^2=z^2\) 的方程称为勾股方程，并称 \((x,y)=1\) 的解为一组本原解。不难推知，本原解满足 \((x,z)=1,(y,z)=1\) 我们可以证明方程 \(x^2+y^2=z^2\) 的所有本原解为 \(a^2+b^2,2

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posted @ 2024-07-17 23:46

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裴蜀定理

摘要：裴蜀定理 \(ax+by=c\) 存在整数解 \((x,y)\) \(\iff (a,b)\mid c\) 更一般的 \(a_1x_1+...+a_nx_n=c\) 存在整数解 \((x_1,x_2,...,x_n) \iff (a_1,a_2,...,a_n)\mid c\) 例1 证明：对 \(

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posted @ 2024-07-17 23:12

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